MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Se dorește construcția unei cutii dreptunghiulare cu baza pătrată, fără capac, având volumul de 32 dm332 \text{ dm}^3. Determinați dimensiunile cutiei astfel încât suprafața totală să fie minimă. Verificați monotonitatea și convexitatea funcției suprafață în raport cu latura bazei.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se notează cu xx latura bazei (în dm) și cu hh înălțimea (în dm). Volumul: V=x2h=32V = x^2 h = 32, deci h=32x2h = \frac{32}{x^2}. Suprafața totală: S(x)=x2+4xh=x2+4x⋅32x2=x2+128xS(x) = x^2 + 4x h = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}, cu x>0x > 0.
22 puncte
Calculul derivatei întâi: S′(x)=2x−128x2S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}. Se găsesc punctele critice: S′(x)=0⇒2x=128x2⇒2x3=128⇒x3=64⇒x=4S'(x)=0 \Rightarrow 2x = \frac{128}{x^2} \Rightarrow 2x^3 = 128 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x=4.
32 puncte
Studiul monotoniei: pentru x∈(0,4)x \in (0,4), S′(x)<0S'(x) < 0, deci SS este descrescătoare; pentru x∈(4,∞)x \in (4, \infty), S′(x)>0S'(x) > 0, deci SS este crescătoare. Astfel, x=4x=4 este punct de minim.
42 puncte
Calculul derivatei a doua: S′′(x)=2+256x3S''(x) = 2 + \frac{256}{x^3}. Pentru x>0x>0, S′′(x)>0S''(x) > 0, deci funcția SS este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
52 puncte
Concluzii: dimensiunile optime sunt x=4x=4 dm și h=3242=2h = \frac{32}{4^2} = 2 dm. Suprafața minimă este S(4)=42+1284=16+32=48 dm2S(4) = 4^2 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48 \text{ dm}^2. Monotonie: SS descrescătoare pe (0,4)(0,4), crescătoare pe (4,∞)(4,\infty); convexitate: SS convexă pe întreg domeniul (0,∞)(0,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.