MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorAsimptote
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Studiați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției și determinați asimptotele graficului.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} și determinarea punctului critic rezolvând f′(x)=0f'(x)=0, adică x=ex=e.\n
22 puncte
Studiul semnului derivatei întâi: f′(x)>0f'(x)>0 pentru x∈(0,e)x \in (0,e) (funcția crescătoare) și f′(x)<0f'(x)<0 pentru x∈(e,∞)x \in (e,\infty) (funcția descrescătoare).\n
32 puncte
Calculul derivatei a doua f′′(x)=2ln⁡x−3x3f''(x) = \frac{2\ln x - 3}{x^3} și determinarea punctelor de inflexiune rezolvând f′′(x)=0f''(x)=0, adică x=e3/2x=e^{3/2}.\n
42 puncte
Studiul semnului derivatei a doua: f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x∈(0,e3/2)x \in (0,e^{3/2}) (funcția concavă) și f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x∈(e3/2,∞)x \in (e^{3/2},\infty) (funcția convexă).\n
52 puncte
Determinarea asimptotelor: asimptotă verticală x=0x=0 (deoarece lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty), asimptotă orizontală y=0y=0 (deoarece lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0), și nu există asimptote oblice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.