MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{0}→Rf : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+1xf(x) = \frac{x^3 + 1}{x}. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff și să se determine ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=ddx(x3+1x)=3x3−(x3+1)x2=2x3−1x2f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3 + 1}{x} \right) = \frac{3x^3 - (x^3 + 1)}{x^2} = \frac{2x^3 - 1}{x^2}. Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 pentru punctele critice: 2x3−1=0⇒x=1232x^3 - 1 = 0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}. Se analizează semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele (−∞,0)(-\infty, 0), (0,123)(0, \sqrt[3]{\frac{1}{2}}) și (123,∞)(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}, \infty) pentru a determina intervalele de monotonie: crescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0) și (123,∞)(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}, \infty), descrescătoare pe (0,123)(0, \sqrt[3]{\frac{1}{2}}).
23 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=ddx(2x3−1x2)=6x4−2x(2x3−1)x4=2x4+2xx4=2(x3+1)x3f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x^3 - 1}{x^2} \right) = \frac{6x^4 - 2x(2x^3 - 1)}{x^4} = \frac{2x^4 + 2x}{x^4} = \frac{2(x^3 + 1)}{x^3}. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru punctele de inflexiune: x3+1=0⇒x=−1x^3 + 1 = 0 \Rightarrow x = -1. Se analizează semnul lui f′′(x)f''(x) pe intervalele (−∞,−1)(-\infty, -1), (−1,0)(-1, 0) și (0,∞)(0, \infty) pentru convexitate: convexă (în sus) pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (0,∞)(0, \infty), concavă (în jos) pe (−1,0)(-1, 0).
33 puncte
Pentru x=1x = 1, se calculează f(1)=13+11=2f(1) = \frac{1^3 + 1}{1} = 2 și f′(1)=2⋅13−112=1f'(1) = \frac{2 \cdot 1^3 - 1}{1^2} = 1. Ecuația tangentei: y−f(1)=f′(1)(x−1)⇒y−2=1(x−1)⇒y=x+1y - f(1) = f'(1)(x - 1) \Rightarrow y - 2 = 1(x - 1) \Rightarrow y = x + 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.