MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii u⃗=i⃗+2j⃗+3k⃗\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k} și v⃗=4i⃗−j⃗+2k⃗\vec{v} = 4\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}. Aflați unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}. Apoi, găsiți un vector w⃗\vec{w} ortogonal atât pe u⃗\vec{u} cât și pe v⃗\vec{v} și care are modulul egal cu 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați produsul scalar u⃗⋅v⃗=1⋅4+2⋅(−1)+3⋅2=4−2+6=8\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 4 - 2 + 6 = 8, ∣u⃗∣=12+22+32=14|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}, ∣v⃗∣=42+(−1)2+22=21|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{21}. \newline
23 puncte
Unghiul θ\theta dintre vectori satisface cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣=814⋅21=8294=876\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{8}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{294}} = \frac{8}{7\sqrt{6}}, deci θ=arccos⁡(876)\theta = \arccos\left(\frac{8}{7\sqrt{6}}\right). \newline
32 puncte
Produsul vectorial u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗1234−12∣=i⃗(2⋅2−3⋅(−1))−j⃗(1⋅2−3⋅4)+k⃗(1⋅(−1)−2⋅4)=i⃗(4+3)−j⃗(2−12)+k⃗(−1−8)=7i⃗+10j⃗−9k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 2 - 3 \cdot 4) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 4) = \vec{i}(4 + 3) - \vec{j}(2 - 12) + \vec{k}(-1 - 8) = 7\vec{i} + 10\vec{j} - 9\vec{k}. \newline
42 puncte
Modulul ∣u⃗×v⃗∣=72+102+(−9)2=49+100+81=230|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{7^2 + 10^2 + (-9)^2} = \sqrt{49 + 100 + 81} = \sqrt{230}. Vectorul w⃗\vec{w} se obține normalizând: w⃗=5⋅u⃗×v⃗∣u⃗×v⃗∣=5230(7i⃗+10j⃗−9k⃗)\vec{w} = 5 \cdot \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \frac{5}{\sqrt{230}} (7\vec{i} + 10\vec{j} - 9\vec{k}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.