MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorAsimptote
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x}. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției ff. c) Aflați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. d) Utilizând derivatele, discutați comportamentul funcției în legătură cu asimptotele sale verticale și oblice.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=2x⋅x−(x2+1)⋅1x2=x2−1x2f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}.
22 puncte
Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 și se determină semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) (funcție crescătoare), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(−1,0)∪(0,1)x \in (-1, 0) \cup (0, 1) (funcție descrescătoare).
32 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=2x⋅x2−(x2−1)⋅2xx4=2x3f''(x) = \frac{2x \cdot x^2 - (x^2 - 1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}.
42 puncte
Se determină semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x > 0 (funcție convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<0x < 0 (funcție concavă).
52 puncte
Puncte de extrem: x=−1x = -1 este maxim local, x=1x = 1 este minim local; nu există puncte de inflexiune deoarece f′′(x)≠0f''(x) \neq 0. Asimptote: verticală x=0x=0, oblică y=xy=x; comportamentul funcției este confirmat de studiul derivatelor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.