MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)−xf(x) = \ln(x^2 + 1) - x. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați numărul de soluții reale ale ecuației ln⁡(x2+1)=x\ln(x^2 + 1) = x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=2xx2+1−1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - 1. Rezolvați f′(x)=0f'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice x=1x=1. Studiați semnul lui f′(x)f'(x): pentru x<1x<1, f′(x)>0f'(x)>0 (funcția crescătoare), pentru x>1x>1, f′(x)<0f'(x)<0 (funcția descrescătoare).
23 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}. Rezolvați f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru a găsi punctele de inflexiune x=−1x=-1 și x=1x=1. Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x<−1x<-1 sau x>1x>1, f′′(x)<0f''(x)<0 (funcția concavă), pentru −1<x<1-1<x<1, f′′(x)>0f''(x)>0 (funcția convexă).
34 puncte
Ecuația ln⁡(x2+1)=x\ln(x^2 + 1) = x este echivalentă cu f(x)=0f(x)=0. Analizați comportamentul funcției: ff este continuă, are un maxim în x=1x=1 cu f(1)=ln⁡(2)−1<0f(1)=\ln(2)-1<0, iar lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty și lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty. Din monotonia pe intervale, rezultă că ecuația are exact două soluții reale, una pe (−∞,1)(-\infty, 1) și alta pe (1,+∞)(1, +\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.