MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăDeterminanți
În spațiul tridimensional, se consideră vectorii u⃗=2i⃗+j⃗−3k⃗\vec{u} = 2\vec{i} + \vec{j} - 3\vec{k}, v⃗=−i⃗+4j⃗+k⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k} și w⃗=i⃗+j⃗+k⃗\vec{w} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}. a) Calculați produsul vectorial u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}. b) Determinați volumul paralelipipedului având ca muchii reprezentanții vectorilor u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} și w⃗\vec{w}. c) Demonstrați că vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} și w⃗\vec{w} sunt liniar independenți.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗21−3−141∣=i⃗(1⋅1−(−3)⋅4)−j⃗(2⋅1−(−3)⋅(−1))+k⃗(2⋅4−1⋅(−1))=i⃗(1+12)−j⃗(2−3)+k⃗(8+1)=13i⃗+j⃗+9k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ -1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-3) \cdot 4) - \vec{j}(2 \cdot 1 - (-3) \cdot (-1)) + \vec{k}(2 \cdot 4 - 1 \cdot (-1)) = \vec{i}(1 + 12) - \vec{j}(2 - 3) + \vec{k}(8 + 1) = 13\vec{i} + \vec{j} + 9\vec{k}.
23 puncte
Volumul paralelipipedului este V=∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣V = | \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) | sau scalar triple product. Calculăm det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)=∣21−3−141111∣=2(4⋅1−1⋅1)−1(−1⋅1−1⋅1)+(−3)(−1⋅1−4⋅1)=2⋅3−1⋅(−2)−3⋅(−5)=6+2+15=23\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(4 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + (-3)(-1 \cdot 1 - 4 \cdot 1) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-2) - 3 \cdot (-5) = 6 + 2 + 15 = 23. Deci V=∣23∣=23V = |23| = 23 unități cubice.
33 puncte
Vectorii sunt liniar independenți dacă determinantul matricei coordonatelor este nenul. Din calculul anterior, det⁡=23≠0\det = 23 \neq 0, deci vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} și w⃗\vec{w} sunt liniar independenți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.