MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Considerați funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Demonstrați că ff este convexă pe domeniul său de definiție și folosiți această proprietate pentru a arăta că pentru orice a,b>0a, b > 0, avem aln⁡a+bln⁡b≥(a+b)ln⁡(a+b2)a \ln a + b \ln b \geq (a+b) \ln\left(\frac{a+b}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=ln⁡xf'(x) = \ln x și derivata a doua f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
23 puncte
Arătați că f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x > 0, ceea ce implică că ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
33 puncte
Aplicați inegalitatea Jensen pentru funcția convexă ff la punctele aa și bb: f(a)+f(b)2≥f(a+b2)\frac{f(a) + f(b)}{2} \geq f\left(\frac{a+b}{2}\right). Substituiți f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x și simplificați pentru a obține inegalitatea cerută.
42 puncte
Discutați când are loc egalitatea, adică pentru a=ba = b, verificând că în acest caz ambele părți ale inegalității sunt egale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.