MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția g(x)=ln⁡(x2+1)−axg(x) = \ln(x^2 + 1) - ax, unde aa este un parametru real. Pentru ce valori ale lui aa funcția gg este descrescătoare pe R\mathbb{R}? Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției gg pentru a=1a=1. Aplicați rezultatele pentru a rezolva inecuația g(x)≥0g(x) \geq 0 pe intervalul [0,∞)[0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi g′(x)=2xx2+1−ag'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - a. Studiați monotonia: gg este descrescătoare pe R\mathbb{R} dacă g′(x)≤0g'(x) \leq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Acest lucru este echivalent cu a≥2xx2+1a \geq \frac{2x}{x^2+1} pentru orice xx. Funcția h(x)=2xx2+1h(x) = \frac{2x}{x^2+1} are maximul egal cu 11 (atins la x=1x=1), deci condiția este a≥1a \geq 1.
23 puncte
Pentru a=1a=1, g(x)=ln⁡(x2+1)−xg(x) = \ln(x^2+1) - x. Calculați derivata a doua g′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2g''(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}. Studiați semnul: g′′(x)=0g''(x) = 0 pentru x=±1x = \pm 1. g′′(x)>0g''(x) > 0 pe (−1,1)(-1,1), deci gg este convexă pe (−1,1)(-1,1), și g′′(x)<0g''(x) < 0 pe (−∞,−1)∪(1,∞)(-\infty,-1) \cup (1,\infty), deci gg este concavă pe aceste intervale.
32 puncte
Din step 1, funcția gg este descrescătoare pe R\mathbb{R} pentru a≥1a \geq 1. Pentru a<1a < 1, există intervale unde gg este crescătoare.
42 puncte
Pentru a=1a=1, rezolvați g(x)≥0g(x) \geq 0 pe [0,∞)[0, \infty). Observați că g(0)=0g(0) = 0, iar din monotonia pentru a=1a=1 (descrescătoare pe R\mathbb{R}), gg este descrescătoare pe [0,∞)[0, \infty). Astfel, g(x)≥0g(x) \geq 0 pentru xx unde g(x)g(x) este nenegativă; deoarece gg este descrescătoare și g(0)=0g(0)=0, avem g(x)≤0g(x) \leq 0 pentru x>0x > 0, deci inecuația g(x)≥0g(x) \geq 0 are soluția x=0x=0. Verificați convexitatea: pe [0,∞)[0, \infty), gg este concavă pentru x>1x > 1, dar acest lucru confirmă că gg are un maxim la x=0x=0 și apoi scade, deci singura soluție este x=0x=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.