MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un dreptunghi este înscris într-un semicerc de rază R>0R > 0. Baza dreptunghiului se află pe diametrul semicercului, iar celelalte două vârfuri pe semicerc. Să se determine lungimea și lățimea dreptunghiului pentru care aria acestuia este maximă. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ariei în raport cu una dintre dimensiuni.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Exprimarea ariei dreptunghiului: fie xx jumătate din lungimea bazei, cu x∈(0,R)x \in (0,R). Atunci înălțimea este y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2}, iar aria A(x)=2x⋅y=2xR2−x2A(x) = 2x \cdot y = 2x \sqrt{R^2 - x^2}.
22 puncte
Calculul derivatei întâi: A′(x)=2R2−x2+2x⋅−xR2−x2=2(R2−x2)−2x2R2−x2=2R2−4x2R2−x2A'(x) = 2 \sqrt{R^2 - x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2(R^2 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2R^2 - 4x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}.
32 puncte
Găsirea punctelor critice: A′(x)=0⇒2R2−4x2=0⇒x2=R22⇒x=R2A'(x)=0 \Rightarrow 2R^2 - 4x^2=0 \Rightarrow x^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow x = \frac{R}{\sqrt{2}} (pentru x>0x>0).
42 puncte
Studierea monotoniei: pe intervalul (0,R2)(0, \frac{R}{\sqrt{2}}), A′(x)>0A'(x)>0, deci AA crescătoare; pe (R2,R)(\frac{R}{\sqrt{2}}, R), A′(x)<0A'(x)<0, deci AA descrescătoare. Astfel, x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}} este punct de maxim.
51 punct
Calculul dimensiunilor: pentru x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}}, y=R2−R22=R2y = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}. Deci lungimea bazei este 2x=R22x = R\sqrt{2}, iar înălțimea este R2\frac{R}{\sqrt{2}}.
62 puncte
Studierea convexității: calculul derivatei a doua: A′′(x)=2x(2x2−3R2)(R2−x2)3/2A''(x) = \frac{2x(2x^2 - 3R^2)}{(R^2 - x^2)^{3/2}}. Pe (0,R)(0,R), 2x2−3R2<02x^2 - 3R^2 < 0, iar numitorul pozitiv, deci A′′(x)<0A''(x) < 0, funcția este concavă pe întreg domeniul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.