MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Considerăm funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, definită prin f(x)=xln⁡x−2x+3f(x) = x \ln x - 2x + 3. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff și găsiți punctul de pe graficul funcției în care tangenta este paralelă cu dreapta y=−x+1y = -x + 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−2=ln⁡x−1f'(x) = \ln x + 1 - 2 = \ln x - 1.
23 puncte
Studiul monotoniei: Rezolvăm f′(x)=0⇒ln⁡x=1⇒x=ef'(x) = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e. Analizăm semnul: pentru x∈(0,e)x \in (0, e), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare; pentru x∈(e,∞)x \in (e, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare.
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. Deoarece f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x>0x > 0, funcția este convexă (concavă în sus) pe (0,∞)(0, \infty).
42 puncte
Tangenta paralelă cu y=−x+1y = -x + 1 are panta −1-1, deci rezolvăm f′(x)=−1⇒ln⁡x−1=−1⇒ln⁡x=0⇒x=1f'(x) = -1 \Rightarrow \ln x - 1 = -1 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1. Punctul pe grafic este (1,f(1))=(1,1⋅ln⁡1−2⋅1+3)=(1,1)(1, f(1)) = (1, 1 \cdot \ln 1 - 2 \cdot 1 + 3) = (1, 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.