MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=2x3−9x2+12x+5C(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5, unde xx este cantitatea produsă în mii de unități, cu x≥0x \geq 0. Determină intervalele în care costul este crescător și concav, apoi găsește cantitatea xx pentru care costul marginal este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Costul marginal este C′(x)=6x2−18x+12C'(x) = 6x^2 - 18x + 12. Pentru monotonia costului, se rezolvă C′(x)=0C'(x) = 0: 6x2−18x+12=06x^2 - 18x + 12 = 0 dă x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0, deci x=1x=1 și x=2x=2. Intervalele: pe [0,1]∪[2,∞)[0,1] \cup [2,\infty), C′(x)≥0C'(x) \geq 0, deci costul este crescător; pe [1,2][1,2], C′(x)≤0C'(x) \leq 0, deci costul este descrescător.
23 puncte
Pentru convexitate, se calculează C′′(x)=12x−18C''(x) = 12x - 18. Se rezolvă C′′(x)=0C''(x) = 0 obținând x=1.5x=1.5. Intervalele: pe [0,1.5][0,1.5], C′′(x)≤0C''(x) \leq 0, deci costul este concav; pe [1.5,∞)[1.5,\infty), C′′(x)≥0C''(x) \geq 0, deci costul este convex.
33 puncte
Costul marginal este C′(x)C'(x). Pentru a-l minimiza, se derivează C′(x)C'(x): C′′(x)=12x−18C''(x) = 12x - 18. Se pune C′′(x)=0C''(x) = 0 dă x=1.5x=1.5. Verificând semnul derivatei a treia sau convexitatea, x=1.5x=1.5 este punct de minim pentru costul marginal.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.