MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xe−xf(x) = x e^{-x}. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Calculează derivata întâi f′(x)=e−x(1−x)f'(x) = e^{-x}(1-x) și derivata a doua f′′(x)=e−x(x−2)f''(x) = e^{-x}(x-2).
21 punct
Determină punctele critice: f′(x)=0⇒x=1f'(x)=0 \Rightarrow x=1.
32 puncte
Analizează semnul lui f′(x)f'(x): pentru x<1x<1, f′(x)>0f'(x)>0 deci ff crescătoare; pentru x>1x>1, f′(x)<0f'(x)<0 deci ff descrescătoare.
41 punct
Determină punctele unde f′′(x)=0f''(x)=0: f′′(x)=0⇒x=2f''(x)=0 \Rightarrow x=2.
52 puncte
Analizează semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x<2x<2, f′′(x)<0f''(x)<0 deci ff concavă; pentru x>2x>2, f′′(x)>0f''(x)>0 deci ff convexă.
62 puncte
Concluzie: la x=1x=1, ff are maxim local; la x=2x=2, ff are punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.