MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Studiați monotonie și convexitatea funcției ff. b) Aflați punctele de extrem local ale funcției ff. c) Folosind rezultatele de la a) și b), determinați numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=mf(x) = m, unde mm este un parametru real.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2). Determinați semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) (funcția crescătoare) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,2)x \in (0,2) (funcție descrescătoare).
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1). Determinați semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1 (funcție convexă) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1 (funcție concavă).
32 puncte
Identificați punctele critice x=0x=0 și x=2x=2 din f′(x)=0f'(x)=0. Folosiți testul derivatei a doua: f′′(0)=−6<0f''(0) = -6 < 0, deci x=0x=0 este punct de maxim local cu f(0)=4f(0)=4; f′′(2)=6>0f''(2) = 6 > 0, deci x=2x=2 este punct de minim local cu f(2)=0f(2)=0.
42 puncte
Analizați numărul de soluții ale ecuației f(x)=mf(x)=m: pentru m>4m > 4 sau m<0m < 0, ecuația are o soluție reală; pentru m=4m=4 sau m=0m=0, are două soluții reale (una dublă); pentru 0<m<40 < m < 4, are trei soluții reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.