MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații Liniare
Fie vectorii a⃗=i⃗+2j⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j}, b⃗=3i⃗−j⃗\vec{b} = 3\vec{i} - \vec{j}, și c⃗=xi⃗+yj⃗\vec{c} = x\vec{i} + y\vec{j} în plan. Determinați numerele reale xx și yy astfel încât vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} să fie liniar dependenți și, în plus, ∣c⃗∣=5|\vec{c}| = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} sunt liniar independenți (determinantul coordonatelor este −7≠0-7 \neq 0), pentru ca a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} să fie liniar dependenți, c⃗\vec{c} trebuie să fie o combinație liniară de a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}. Astfel, există λ,μ∈R\lambda, \mu \in \mathbb{R} astfel încât c⃗=λa⃗+μb⃗\vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}.
23 puncte
Din c⃗=λa⃗+μb⃗\vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}, obținem x=λ+3μx = \lambda + 3\mu și y=2λ−μy = 2\lambda - \mu.
32 puncte
Condiția ∣c⃗∣=5|\vec{c}| = 5 se scrie x2+y2=25x^2 + y^2 = 25.
42 puncte
Înlocuind xx și yy, avem (λ+3μ)2+(2λ−μ)2=25(\lambda + 3\mu)^2 + (2\lambda - \mu)^2 = 25. Simplificând: 5λ2+2λμ+10μ2=255\lambda^2 + 2\lambda\mu + 10\mu^2 = 25. Alegând, de exemplu, λ=1\lambda = 1, rezolvăm 5+2μ+10μ2=25⇒10μ2+2μ−20=0⇒5μ2+μ−10=05 + 2\mu + 10\mu^2 = 25 \Rightarrow 10\mu^2 + 2\mu - 20 = 0 \Rightarrow 5\mu^2 + \mu - 10 = 0, cu soluțiile μ=−1±20110\mu = \frac{-1 \pm \sqrt{201}}{10}. Atunci x=1+3μx = 1 + 3\mu și y=2−μy = 2 - \mu. O soluție particulară este pentru μ=−1+20110\mu = \frac{-1 + \sqrt{201}}{10}, dând x=7+320110x = \frac{7 + 3\sqrt{201}}{10}, y=21−20110y = \frac{21 - \sqrt{201}}{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.