MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii u⃗=(m+1)i⃗+2j⃗\vec{u} = (m+1)\vec{i} + 2\vec{j} și v⃗=3i⃗+(m−1)j⃗\vec{v} = 3\vec{i} + (m-1)\vec{j}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Determinați mm astfel încât vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie perpendiculari. b) Pentru m=2m=2, calculați aria paralelogramului construit pe u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}. c) Demonstrați că, pentru orice mm, vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} nu pot fi coliniari decât dacă mm satisface o anumită ecuație; găsiți această ecuație și discutați soluțiile.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția de perpendicularitate: u⃗⋅v⃗=(m+1)⋅3+2⋅(m−1)=0\vec{u} \cdot \vec{v} = (m+1)\cdot 3 + 2 \cdot (m-1) = 0. Rezolvând: 3m+3+2m−2=5m+1=03m+3 + 2m-2 = 5m+1=0, deci m=−15m=-\frac{1}{5}.
23 puncte
Pentru m=2m=2, u⃗=3i⃗+2j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 2\vec{j}, v⃗=3i⃗+1j⃗\vec{v} = 3\vec{i} + 1\vec{j}. Aria paralelogramului este ∣det⁡(u⃗,v⃗)∣=∣3⋅1−2⋅3∣=∣3−6∣=3|\det(\vec{u},\vec{v})| = |3 \cdot 1 - 2 \cdot 3| = |3 - 6| = 3.
34 puncte
Condiția de coliniaritate: există k∈Rk \in \mathbb{R} astfel încât u⃗=kv⃗\vec{u} = k\vec{v}. Aceasta dă sistemul: m+1=3km+1 = 3k și 2=(m−1)k2 = (m-1)k. Din prima, k=m+13k = \frac{m+1}{3}. Înlocuind în a doua: 2=(m−1)⋅m+132 = (m-1) \cdot \frac{m+1}{3}, deci 6=(m−1)(m+1)=m2−16 = (m-1)(m+1) = m^2 - 1, adică m2=7m^2 = 7, m=±7m = \pm \sqrt{7}. Discuție: Pentru m=7m = \sqrt{7} sau m=−7m = -\sqrt{7}, vectorii sunt coliniari.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.