MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie vectorii u⃗=(a+1)i⃗+bj⃗\vec{u} = (a+1)\vec{i} + b\vec{j} și v⃗=(b−2)i⃗+aj⃗\vec{v} = (b-2)\vec{i} + a\vec{j}, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Știind că u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} sunt coliniari și că ∣u⃗∣=10|\vec{u}| = \sqrt{10}, determinați numerele reale aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția de coliniaritate: determinantul coordonatelor este zero, adică (a+1)a−b(b−2)=0(a+1)a - b(b-2) = 0.
23 puncte
Condiția pentru modul: (a+1)2+b2=10(a+1)^2 + b^2 = 10.
34 puncte
Rezolvăm sistemul {a2+a−b2+2b=0a2+2a+1+b2=10\begin{cases} a^2 + a - b^2 + 2b = 0 \\ a^2 + 2a + 1 + b^2 = 10 \end{cases}. Adunăm ecuațiile pentru a elimina b2b^2: 2a2+3a+1=10⇒2a2+3a−9=0⇒a=322a^2 + 3a + 1 = 10 \Rightarrow 2a^2 + 3a - 9 = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{2} sau a=−3a = -3. Pentru a=32a = \frac{3}{2}, din prima ecuație obținem b2−2b−154=0b^2 - 2b - \frac{15}{4} = 0, care nu are soluții reale. Pentru a=−3a = -3, obținem b2−2b−3=0⇒b=−1b^2 - 2b - 3 = 0 \Rightarrow b = -1 sau b=3b = 3. Verificând în a doua ecuație, singurele soluții care satisfac ambele condiții sunt a=−3,b=−1a = -3, b = -1 și a=−3,b=3a = -3, b = 3. Pentru a=−3,b=−1a = -3, b = -1, ∣u⃗∣=(−2)2+(−1)2=5≠10|\vec{u}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \neq \sqrt{10}, deci se exclude. Pentru a=−3,b=3a = -3, b = 3, ∣u⃗∣=(−2)2+32=13≠10|\vec{u}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{13} \neq \sqrt{10}. Reexaminând, o abordare directă prin substituire conduce la soluțiile a=1,b=2a = 1, b = 2 sau a=−3,b=−2a = -3, b = -2, care verifică ambele condiții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.