MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie punctele A(2, -1), B(a, 3) și C(4, b) în planul xOy. Determinați valorile reale ale parametrilor a și b pentru care vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC} sunt ortogonali și lungimea vectorului AB⃗\vec{AB} este egală cu dublul lungimii vectorului AC⃗\vec{AC}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți vectorii AB⃗=(a−2,4)\vec{AB} = (a-2, 4) și AC⃗=(2,b+1)\vec{AC} = (2, b+1).
23 puncte
Aplicați condiția de ortogonalitate: AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0, adică (a−2)⋅2+4⋅(b+1)=0(a-2)\cdot2 + 4\cdot(b+1) = 0, care se simplifică la a+2b=0a + 2b = 0.
32 puncte
Aplicați condiția lungimilor: ∣AB⃗∣=2∣AC⃗∣|\vec{AB}| = 2|\vec{AC}|, deci (a−2)2+16=24+(b+1)2\sqrt{(a-2)^2 + 16} = 2\sqrt{4 + (b+1)^2}. Ridicați la pătrat și obțineți (a−2)2+16=16+4(b+1)2(a-2)^2 + 16 = 16 + 4(b+1)^2.
42 puncte
Rezolvați sistemul format din a+2b=0a + 2b = 0 și (a−2)2=4(b+1)2(a-2)^2 = 4(b+1)^2. Substituiți a=−2ba = -2b în a doua ecuație și obțineți (−2b−2)2=4(b+1)2(-2b-2)^2 = 4(b+1)^2, care conduce la 4(b+1)2=4(b+1)24(b+1)^2 = 4(b+1)^2, identic adevărat pentru orice b. Din a=−2ba = -2b și condiția inițială, deduceți că există infinit de soluții cu a=−2ba = -2b și b∈Rb \in \mathbb{R}, dar verificați consistența cu ecuația lungimii: după simplificări, se obține b∈Rb \in \mathbb{R} și a=−2ba = -2b.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.