MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
În spațiul tridimensional, se consideră vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} cu ∣a⃗∣=3|\vec{a}|=3, ∣b⃗∣=4|\vec{b}|=4, ∣c⃗∣=5|\vec{c}|=5 și a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, b⃗⋅c⃗=0\vec{b} \cdot \vec{c} = 0, a⃗⋅c⃗=12\vec{a} \cdot \vec{c} = 12. Calculați modulul vectorului s⃗=a⃗+b⃗+c⃗\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm ∣s⃗∣2=(a⃗+b⃗+c⃗)⋅(a⃗+b⃗+c⃗)|\vec{s}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}).
23 puncte
Dezvoltăm produsul scalar: ∣s⃗∣2=a⃗⋅a⃗+b⃗⋅b⃗+c⃗⋅c⃗+2(a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗+b⃗⋅c⃗)|\vec{s}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}).
33 puncte
Înlocuim valorile date: a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2=9\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 9, b⃗⋅b⃗=16\vec{b} \cdot \vec{b} = 16, c⃗⋅c⃗=25\vec{c} \cdot \vec{c} = 25, iar a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, a⃗⋅c⃗=12\vec{a} \cdot \vec{c} = 12, b⃗⋅c⃗=0\vec{b} \cdot \vec{c} = 0.
42 puncte
Obținem ∣s⃗∣2=9+16+25+2(0+12+0)=50+24=74|\vec{s}|^2 = 9 + 16 + 25 + 2(0 + 12 + 0) = 50 + 24 = 74, deci ∣s⃗∣=74|\vec{s}| = \sqrt{74}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.