MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie fără capac are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul cutiei este de 4 m34 \text{ m}^3. Notăm cu xx lungimea laturii bazei (în metri) și cu hh înălțimea. Exprimați hh în funcție de xx și apoi aria suprafeței totale A(x)A(x). Studiați monotonia și convexitatea funcției A(x)A(x) pe intervalul (0,∞)(0, \infty). Determinați valoarea lui xx pentru care aria este minimă și calculați această arie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din volum V=x2h=4V = x^2 h = 4, obțineți h=4x2h = \frac{4}{x^2}. Aria totală A(x)=x2+4xh=x2+16xA(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{16}{x}.
23 puncte
Calculați derivata A′(x)=2x−16x2A'(x) = 2x - \frac{16}{x^2}. Rezolvați A′(x)=0A'(x)=0 pentru x>0x>0, obțineți x=2x=2. Studiul monotoniei: AA este descrescătoare pe (0,2](0,2] și crescătoare pe [2,∞)[2, \infty).
32 puncte
Calculați derivata a doua A′′(x)=2+32x3A''(x) = 2 + \frac{32}{x^3}, care este pozitivă pentru x>0x>0, deci AA este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
42 puncte
Minimul se atinge la x=2x=2, h=1h=1, și aria minimă este A(2)=22+162=4+8=12 m2A(2) = 2^2 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12 \text{ m}^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.