MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−4x+5)f(x) = e^{-x}(x^2 - 4x + 5). Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. Determinați valorile maxime și minime ale funcției pe intervalul [0,3][0,3].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=−e−x(x2−4x+5)+e−x(2x−4)=e−x(−x2+6x−9)f'(x) = -e^{-x}(x^2 - 4x + 5) + e^{-x}(2x - 4) = e^{-x}(-x^2 + 6x - 9).
23 puncte
Aflați punctele critice: f′(x)=0⇒−x2+6x−9=0⇒x=3f'(x)=0 \Rightarrow -x^2 + 6x - 9 =0 \Rightarrow x=3. Studiați semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) >0 pentru x<3x<3 și f′(x)<0f'(x)<0 pentru x>3x>3, deci ff este crescătoare pe (−∞,3)(-\infty,3) și descrescătoare pe (3,∞)(3,\infty).
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=e−x(x2−8x+14)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 8x + 14).
42 puncte
Aflați punctele de inflexiune: f′′(x)=0⇒x2−8x+14=0⇒x=4±2f''(x)=0 \Rightarrow x^2 - 8x + 14=0 \Rightarrow x=4\pm\sqrt{2}. Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x<4−2x<4-\sqrt{2} sau x>4+2x>4+\sqrt{2}, deci ff este convexă pe (−∞,4−2)∪(4+2,∞)(-\infty,4-\sqrt{2}) \cup (4+\sqrt{2},\infty) și concavă pe (4−2,4+2)(4-\sqrt{2},4+\sqrt{2}).
51 punct
Pe intervalul [0,3][0,3], funcția este crescătoare, deci maximul este f(3)=e−3(9−12+5)=2e−3f(3)=e^{-3}(9-12+5)=2e^{-3} și minimul este f(0)=5f(0)=5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.