MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABC, se cunosc lungimile laturilor: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Fie M mijlocul laturii BC. Exprimați vectorul AM⃗\vec{AM} în funcție de AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}, calculați ∣AM⃗∣|\vec{AM}|, și determinați măsura unghiului BAC^\widehat{BAC} folosind produsul scalar.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimați AM⃗\vec{AM} folosind formula medianei: AM⃗=AB⃗+BM⃗\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}, cu BM⃗=12BC⃗=12(AC⃗−AB⃗)\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB}), deci AM⃗=AB⃗+12(AC⃗−AB⃗)=12AB⃗+12AC⃗=12(AB⃗+AC⃗)\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}).
23 puncte
Calculați ∣AM⃗∣|\vec{AM}|: ∣AM⃗∣2=14∣AB⃗+AC⃗∣2=14(∣AB⃗∣2+∣AC⃗∣2+2AB⃗⋅AC⃗)|\vec{AM}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = \frac{1}{4}(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2\vec{AB} \cdot \vec{AC}). Din legea cosinusurilor, BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos⁡∠BACBC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos \angle BAC, adică 62=52+72−2⋅5⋅7cos⁡∠BAC6^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos \angle BAC, deci cos⁡∠BAC=1935\cos \angle BAC = \frac{19}{35}. Atunci AB⃗⋅AC⃗=5⋅7⋅1935=19\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 7 \cdot \frac{19}{35} = 19. Înlocuiți: ∣AM⃗∣2=14(25+49+2⋅19)=14⋅112=28|\vec{AM}|^2 = \frac{1}{4}(25 + 49 + 2\cdot19) = \frac{1}{4} \cdot 112 = 28, deci ∣AM⃗∣=28=27|\vec{AM}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.
34 puncte
Determinați unghiul BAC^\widehat{BAC}: AB⃗⋅AC⃗=∣AB⃗∣∣AC⃗∣cos⁡∠BAC\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos \angle BAC, deci cos⁡∠BAC=1935\cos \angle BAC = \frac{19}{35}, iar ∠BAC=arccos⁡(1935)\angle BAC = \arccos\left(\frac{19}{35}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.