MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x3−3x2+kx+1f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 1, unde kk este un parametru real. a) Studiați monotonia funcției ff în funcție de kk. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale lui ff și punctul de inflexiune. c) Pentru k=2k=2, găsiți punctele de extrem local și rezolvați ecuația f(x)=0f(x)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculează derivata întâi f′(x)=3x2−6x+kf'(x) = 3x^2 - 6x + k și derivata a doua f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
23 puncte
Pentru monotonia, studiază semnul lui f′(x)f'(x): calculează discriminantul Δ=36−12k\Delta = 36 - 12k și discuție cazurile: dacă k>3k > 3, atunci f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice xx, deci ff strict crescătoare; dacă k=3k = 3, atunci f′(x)≥0f'(x) \geq 0 cu egalitate la x=1x=1, deci ff crescătoare; dacă k<3k < 3, atunci f′(x)f'(x) are două rădăcini reale x1,2=1±1−k/3x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - k/3}, iar ff este crescătoare pe (−∞,x1](-\infty, x_1] și [x2,∞)[x_2, \infty), descrescătoare pe [x1,x2][x_1, x_2].
32 puncte
Pentru convexitate, f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6, deci f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1 (convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1 (concavă), iar x=1x=1 este punct de inflexiune pentru orice kk.
42 puncte
Pentru k=2k=2, f(x)=x3−3x2+2x+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1. Punctele critice: rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, adică 3x2−6x+2=03x^2 - 6x + 2=0, cu soluțiile x=1±13x=1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}; studiind semnul derivatei, se obține un maxim local la x=1−13x=1 - \frac{1}{\sqrt{3}} și un minim local la x=1+13x=1 + \frac{1}{\sqrt{3}}. Rezolvarea ecuației f(x)=0f(x)=0: se observă că x=−1x=-1 este rădăcină, deci se factorizează (x+1)(x2−4x+1)=0(x+1)(x^2 - 4x +1)=0, cu soluțiile x=−1x=-1, x=2±3x=2 \pm \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.