MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În planul complex, se consideră numerele z1=1+iz_1=1+i și z2=2−iz_2=2-i. a) Reprezentați numerele ca vectori în plan și calculați produsul scalar al vectorilor asociați. b) Determinați măsura unghiului dintre cei doi vectori. c) Găsiți toate numerele complexe zz de modul 2\sqrt{2} astfel încât vectorul asociat lui zz să fie ortogonal cu vectorul asociat lui z1z_1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Pentru a), vectorii asociați sunt v⃗1=(1,1)\vec{v}_1=(1,1) și v⃗2=(2,−1)\vec{v}_2=(2,-1). Produsul scalar: v⃗1⋅v⃗2=1⋅2+1⋅(−1)=2−1=1\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 1\cdot2 + 1\cdot(-1) = 2-1=1.
23 puncte
Pentru b), modulele: ∥v⃗1∥=12+12=2\|\vec{v}_1\|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}, ∥v⃗2∥=22+(−1)2=5\|\vec{v}_2\|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}. Cosinusul unghiului θ\theta: cos⁡θ=v⃗1⋅v⃗2∥v⃗1∥⋅∥v⃗2∥=12⋅5=110\cos \theta = \frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{\|\vec{v}_1\| \cdot \|\vec{v}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}, deci θ=arccos⁡(110)\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right).
35 puncte
Pentru c), fie z=x+yiz=x+yi, cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Condiția de modul: x2+y2=2x^2+y^2=2. Condiția de ortogonalitate cu v⃗1\vec{v}_1: 1⋅x+1⋅y=01\cdot x + 1\cdot y = 0, adică x+y=0x+y=0. Din x+y=0x+y=0, avem y=−xy=-x. Înlocuind în x2+y2=2x^2+y^2=2: x2+(−x)2=2x2=2x^2+(-x)^2=2x^2=2, deci x2=1x^2=1, x=±1x=\pm1. Atunci y=∓1y=\mp1. Soluțiile: z=1−iz=1-i și z=−1+iz=-1+i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.