MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieGeometrie Analitică
Fie vectorii u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=ai⃗+bj⃗\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j}. Determinați numerele reale a și b pentru care ∣u⃗∣=∣v⃗∣|\vec{u}| = |\vec{v}| și măsura unghiului dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} este de 60°.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați ∣u⃗∣=32+42=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.
23 puncte
Impuneți ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = 5, deci a2+b2=5\sqrt{a^2 + b^2} = 5, adică a2+b2=25a^2 + b^2 = 25.
33 puncte
Folosiți produsul scalar: u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡60°=5⋅5⋅12=252\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos 60° = 5 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{2}. Dar u⃗⋅v⃗=3a+4b\vec{u} \cdot \vec{v} = 3a + 4b, deci 3a+4b=2523a + 4b = \frac{25}{2}.
42 puncte
Rezolvați sistemul {a2+b2=253a+4b=252\begin{cases} a^2 + b^2 = 25 \\ 3a + 4b = \frac{25}{2} \end{cases}. Din a doua ecuație, exprimați b=258−34ab = \frac{25}{8} - \frac{3}{4}a, substituiți în prima și obțineți o ecuație pătratică în a: a2+(258−34a)2=25a^2 + \left(\frac{25}{8} - \frac{3}{4}a\right)^2 = 25. Rezolvați și găsiți valorile lui a și b, de exemplu, a = 3, b = 4 sau a = \frac{7}{5}, b = \frac{24}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.