MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
În reperul cartezian xOyxOy, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,5)B(4,5) și C(x,y)C(x,y). Determinați coordonatele punctului CC știind că vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC} sunt perpendiculari și că modulul vectorului AC⃗\vec{AC} este egal cu 10\sqrt{10}. Rezolvați sistemul de ecuații obținut.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm vectorii: AB⃗=(4−1,5−2)=(3,3)\vec{AB} = (4-1, 5-2) = (3,3) și AC⃗=(x−1,y−2)\vec{AC} = (x-1, y-2).
23 puncte
Condiția de perpendicularitate: AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0, adică 3(x−1)+3(y−2)=03(x-1) + 3(y-2) = 0, simplificând, x−1+y−2=0x-1 + y-2 = 0, deci x+y=3x + y = 3.
32 puncte
Condiția modulului: ∣AC⃗∣=10|\vec{AC}| = \sqrt{10}, adică (x−1)2+(y−2)2=10\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{10}, deci (x−1)2+(y−2)2=10(x-1)^2 + (y-2)^2 = 10.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: x+y=3x + y = 3 și (x−1)2+(y−2)2=10(x-1)^2 + (y-2)^2 = 10. Din prima, y=3−xy = 3 - x. Înlocuim în a doua: (x−1)2+((3−x)−2)2=10(x-1)^2 + ((3-x)-2)^2 = 10, adică (x−1)2+(1−x)2=10(x-1)^2 + (1-x)^2 = 10. Dar (1−x)2=(x−1)2(1-x)^2 = (x-1)^2, deci 2(x−1)2=102(x-1)^2 = 10, (x−1)2=5(x-1)^2 = 5, x−1=±5x-1 = \pm\sqrt{5}, deci x=1±5x = 1 \pm \sqrt{5}. Atunci y=3−x=3−(1±5)=2∓5y = 3 - x = 3 - (1 \pm \sqrt{5}) = 2 \mp \sqrt{5}. Soluțiile sunt C1(1+5,2−5)C_1(1+\sqrt{5}, 2-\sqrt{5}) și C2(1−5,2+5)C_2(1-\sqrt{5}, 2+\sqrt{5}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.