MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Fie funcția profit P:[0,∞)→RP: [0, \infty) \to \mathbb{R} definită prin P(x)=−x3+6x2+15x−50P(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 50, unde xx este numărul de produse vândute în mii. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției PP. b) Determinați valoarea lui xx pentru care profitul este maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: P′(x)=−3x2+12x+15P'(x) = -3x^2 + 12x + 15. Rezolvăm P′(x)=0P'(x)=0 adică −3x2+12x+15=0-3x^2+12x+15=0, care se simplifică la x2−4x−5=0x^2 -4x -5=0 cu soluțiile x=−1x=-1 și x=5x=5. Deoarece x≥0x \geq 0, considerăm x=5x=5. Studiem semnul lui P′P' pe [0,5)[0,5) și (5,∞)(5,\infty) și deducem că PP este crescătoare pe [0,5][0,5] și descrescătoare pe [5,∞)[5,\infty).
23 puncte
Calculăm derivata a doua: P′′(x)=−6x+12P''(x) = -6x + 12. Rezolvăm P′′(x)=0P''(x)=0 adică −6x+12=0-6x+12=0 și obținem x=2x=2. Studiem semnul lui P′′P'' pe [0,2)[0,2) și (2,∞)(2,\infty) și deducem că PP este convexă pe [0,2][0,2] și concavă pe [2,∞)[2,\infty). Punctul x=2x=2 este punct de inflexiune.
34 puncte
Pentru a maximiza profitul, observăm că pe [0,5][0,5], PP este crescătoare și pe [5,∞)[5,\infty) este descrescătoare, deci maximul este atins în x=5x=5. Verificăm cu derivata a doua: P′′(5)=−6⋅5+12=−18<0P''(5) = -6\cdot5+12 = -18 < 0, confirmând că x=5x=5 este punct de maxim local. Profitul maxim este P(5)=−125+150+75−50=50P(5) = -125 + 150 + 75 - 50 = 50.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.