MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=x3−6x2+9x+10C(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 10, unde xx este cantitatea produsă (în mii de unități), x≥0x \geq 0. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției CC. Apoi, folosind aceste informații, aflați cantitatea xx pentru care profitul firmei este maxim, știind că venitul total este V(x)=15xV(x) = 15x.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi a lui CC: C′(x)=3x2−12x+9C'(x) = 3x^2 - 12x + 9. Aflarea punctelor critice rezolvând C′(x)=0C'(x)=0: x=1x=1 și x=3x=3.
23 puncte
Studiul semnului lui C′(x)C'(x) pe [0,∞)[0,\infty): pentru x∈[0,1)x \in [0,1), C′(x)>0C'(x)>0, deci CC este crescătoare; pentru x∈(1,3)x \in (1,3), C′(x)<0C'(x)<0, deci CC este descrescătoare; pentru x∈(3,∞)x \in (3,\infty), C′(x)>0C'(x)>0, deci CC este crescătoare. Intervalele de monotonie: crescătoare pe [0,1][0,1] și [3,∞)[3,\infty), descrescătoare pe [1,3][1,3].
32 puncte
Calculul derivatei a doua: C′′(x)=6x−12C''(x) = 6x - 12. Aflarea punctului de inflexiune rezolvând C′′(x)=0C''(x)=0: x=2x=2.
42 puncte
Studiul semnului lui C′′(x)C''(x): pentru x∈[0,2)x \in [0,2), C′′(x)<0C''(x)<0, deci CC este concavă; pentru x∈(2,∞)x \in (2,\infty), C′′(x)>0C''(x)>0, deci CC este convexă. Intervalele de convexitate: convexă pe (2,∞)(2,\infty), concavă pe [0,2)[0,2).
51 punct
Aplicare pentru profit maxim: profitul este P(x)=V(x)−C(x)=15x−(x3−6x2+9x+10)=−x3+6x2+6x−10P(x) = V(x) - C(x) = 15x - (x^3 - 6x^2 + 9x + 10) = -x^3 + 6x^2 + 6x - 10. Condiția de maxim (sau echivalent, costul marginal egal cu prețul) dă C′(x)=15C'(x)=15, adică 3x2−12x+9=153x^2 - 12x + 9 = 15. Rezolvând, se obține x2−4x−2=0x^2 - 4x - 2 = 0, cu soluția pozitivă x=2+6x = 2 + \sqrt{6}. Se verifică că este maxim folosind derivata a doua a lui P(x)P(x): P′′(x)=−6x+12P''(x) = -6x + 12, iar P′′(2+6)<0P''(2+\sqrt{6}) < 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.