MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorEcuații logaritmice
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. c) Aflați valorile lui a>0a > 0 pentru care ecuația f(x)=af(x) = a are exact două soluții reale distincte. d) Utilizând rezultatele, arătați că pentru orice x>0x > 0, ln⁡xx≤1e\frac{\ln x}{x} \leq \frac{1}{e}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}. Studiem semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(0,e)x \in (0, e), f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=ex=e, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>ex > e, deci ff crescătoare pe (0,e](0, e] și descrescătoare pe [e,∞)[e, \infty). Calculăm f′′(x)=−3+2ln⁡xx3f''(x) = \frac{-3 + 2\ln x}{x^3}. Studiem semnul: f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=e3/2x = e^{3/2}, f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>e3/2x > e^{3/2} (convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<e3/2x < e^{3/2} (concavă).
23 puncte
Punct de extrem: la x=ex=e, f′(e)=0f'(e)=0 și semnul se schimbă din pozitiv în negativ, deci maxim local, f(e)=1ef(e) = \frac{1}{e}. Punct de inflexiune: la x=e3/2x=e^{3/2}, f′′(e3/2)=0f''(e^{3/2})=0 și semnul se schimbă, deci punct de inflexiune.
32 puncte
Din monotonie, ff are maximul 1e\frac{1}{e} la x=ex=e. Pentru a∈(0,1e)a \in (0, \frac{1}{e}), ecuația f(x)=af(x)=a are exact două soluții: una în (0,e)(0, e) și alta în (e,∞)(e, \infty). Pentru a=1ea = \frac{1}{e}, o soluție x=ex=e, iar pentru a>1ea > \frac{1}{e}, nicio soluție.
42 puncte
Deoarece ff are maximul 1e\frac{1}{e}, rezultă f(x)≤1ef(x) \leq \frac{1}{e} pentru orice x>0x>0, adică ln⁡xx≤1e\frac{\ln x}{x} \leq \frac{1}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.