MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
Fie vectorii a⃗=2i⃗−j⃗\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j}, b⃗=i⃗+3j⃗\vec{b} = \vec{i} + 3\vec{j}, și c⃗=xi⃗+yj⃗\vec{c} = x\vec{i} + y\vec{j}. Determinați numerele reale xx și yy astfel încât c⃗\vec{c} să fie o combinație liniară a lui a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}, adică să existe scalarii α\alpha și β\beta astfel încât c⃗=αa⃗+βb⃗\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}, și în plus, c⃗\vec{c} să fie perpendicular pe a⃗\vec{a}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condiția de combinație liniară: c⃗=αa⃗+βb⃗\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}. Înlocuind, obținem xi⃗+yj⃗=α(2i⃗−j⃗)+β(i⃗+3j⃗)=(2α+β)i⃗+(−α+3β)j⃗x\vec{i} + y\vec{j} = \alpha(2\vec{i} - \vec{j}) + \beta(\vec{i} + 3\vec{j}) = (2\alpha + \beta)\vec{i} + (-\alpha + 3\beta)\vec{j}. Deci, x=2α+βx = 2\alpha + \beta și y=−α+3βy = -\alpha + 3\beta.
23 puncte
Condiția de perpendicularitate: c⃗⋅a⃗=0\vec{c} \cdot \vec{a} = 0. Calculăm c⃗⋅a⃗=(xi⃗+yj⃗)⋅(2i⃗−j⃗)=2x−y=0\vec{c} \cdot \vec{a} = (x\vec{i} + y\vec{j}) \cdot (2\vec{i} - \vec{j}) = 2x - y = 0.
34 puncte
Avem sistemul de ecuații: x=2α+βx = 2\alpha + \beta, y=−α+3βy = -\alpha + 3\beta, și 2x−y=02x - y = 0. Înlocuim xx și yy din primele două ecuații în a treia: 2(2α+β)−(−α+3β)=02(2\alpha + \beta) - (-\alpha + 3\beta) = 0, adică 4α+2β+α−3β=04\alpha + 2\beta + \alpha - 3\beta = 0, deci 5α−β=05\alpha - \beta = 0, de unde β=5α\beta = 5\alpha. Atunci x=2α+5α=7αx = 2\alpha + 5\alpha = 7\alpha și y=−α+15α=14αy = -\alpha + 15\alpha = 14\alpha. Pentru orice α∈R\alpha \in \mathbb{R}, vectorul c⃗=7αi⃗+14αj⃗\vec{c} = 7\alpha \vec{i} + 14\alpha \vec{j} satisface condițiile. Dacă se cere o soluție specifică, putem alege de exemplu α=1\alpha=1, deci x=7x=7, y=14y=14.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.