MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareGeometrie Analitică
Fie vectorii u⃗=i⃗+j⃗\vec{u} = \vec{i} + \vec{j}, v⃗=i⃗+k⃗\vec{v} = \vec{i} + \vec{k}, w⃗=j⃗+k⃗\vec{w} = \vec{j} + \vec{k}. Arătați că u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} formează o bază pentru R3\mathbb{R}^3 și exprimați vectorul a⃗=5i⃗−3j⃗+4k⃗\vec{a} = 5\vec{i} - 3\vec{j} + 4\vec{k} ca o combinație liniară a acestora.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Arătați că vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} sunt liniar independenți calculând determinantul matricei coordonatelor: det⁡(110101011)=1⋅(0⋅1−1⋅1)−1⋅(1⋅1−1⋅0)+0⋅(1⋅1−0⋅0)=−1−1=−2≠0\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 0 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1 - 1 = -2 \neq 0, deci formează o bază.
26 puncte
Rezolvați sistemul αu⃗+βv⃗+γw⃗=a⃗\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} + \gamma \vec{w} = \vec{a}. Obținem sistemul: {α+β=5α+γ=−3β+γ=4\begin{cases} \alpha + \beta = 5 \\ \alpha + \gamma = -3 \\ \beta + \gamma = 4 \end{cases}. Din prima ecuație, β=5−α\beta = 5 - \alpha. Din a doua, γ=−3−α\gamma = -3 - \alpha. Înlocuind în a treia: (5−α)+(−3−α)=4⇒2−2α=4⇒−2α=2⇒α=−1(5 - \alpha) + (-3 - \alpha) = 4 \Rightarrow 2 - 2\alpha = 4 \Rightarrow -2\alpha = 2 \Rightarrow \alpha = -1. Atunci β=6\beta = 6 și γ=−2\gamma = -2. Deci a⃗=−u⃗+6v⃗−2w⃗\vec{a} = -\vec{u} + 6\vec{v} - 2\vec{w}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.