MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Determinați intervalele de monotonie și de convexitate ale funcției ff. Apoi, calculați valoarea maximă a funcției pe intervalul [0,3][0,3].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x) = 0, obținând x=0x=0 și x=2x=2. Se studiază semnul derivatei: pe (−∞,0)(-\infty,0) și (2,∞)(2,\infty) derivata este pozitivă, deci ff este crescătoare; pe (0,2)(0,2) derivata este negativă, deci ff este descrescătoare.
23 puncte
Se calculează derivata a doua f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0, obținând x=1x=1. Se studiază semnul: pe (−∞,1)(-\infty,1) f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff este concavă; pe (1,∞)(1,\infty) f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff este convexă.
34 puncte
Pe intervalul [0,3][0,3], se evaluează funcția în punctele critice și capete: f(0)=2f(0)=2, f(2)=23−3⋅22+2=8−12+2=−2f(2)=2^3-3\cdot2^2+2=8-12+2=-2, f(3)=27−27+2=2f(3)=27-27+2=2. Valoarea maximă este 22, atinsă în x=0x=0 și x=3x=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.