MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:[0,∞)→Rf : [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x3e−xf(x) = x^3 e^{-x}. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff și calculați valoarea maximă a acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2e−x−x3e−x=x2e−x(3−x)f'(x) = 3x^2 e^{-x} - x^3 e^{-x} = x^2 e^{-x}(3 - x).
23 puncte
Studiem semnul derivatei întâi. Pentru x≥0x \geq 0, e−x>0e^{-x} > 0 și x2≥0x^2 \geq 0. Atunci f′(x)=0f'(x) = 0 când x=0x=0 sau x=3x=3. Intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe [0,3][0,3] și descrescătoare pe [3,∞)[3,\infty).
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=ddx[x2e−x(3−x)]f''(x) = \frac{d}{dx}[x^2 e^{-x}(3-x)]. Simplificând, f′′(x)=e−x(x2−6x+6)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 6x + 6).
42 puncte
Studiem semnul derivatei a doua. Rezolvăm x2−6x+6=0x^2 - 6x + 6 = 0, cu rădăcinile x=3±3x = 3 \pm \sqrt{3}. Intervalele de convexitate: ff este convexă pe [0,3−3]∪[3+3,∞)[0, 3-\sqrt{3}] \cup [3+\sqrt{3}, \infty) și concavă pe [3−3,3+3][3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3}].
51 punct
Valoarea maximă este f(3)=27e−3f(3) = 27 e^{-3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.