MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff. Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și intervalele de convexitate/concavitate, precum și punctele de inflexiune. Utilizând aceste rezultate, demonstrați că ecuația f(x)=af(x) = a are exact trei rădăcini reale distincte pentru orice a∈(0,4)a \in (0,4).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
23 puncte
Determinarea punctelor critice: f′(x)=0⇒x=0f'(x)=0 \Rightarrow x=0 sau x=2x=2. Studiul semnului lui f′(x)f'(x): pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)>0f'(x)>0 deci ff crescătoare; pe (0,2)(0,2), f′(x)<0f'(x)<0 deci ff descrescătoare; pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)>0f'(x)>0 deci ff crescătoare. Puncte de extrem: x=0x=0 maxim local, f(0)=4f(0)=4; x=2x=2 minim local, f(2)=0f(2)=0.
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Determinarea convexității: f′′(x)=0⇒x=1f''(x)=0 \Rightarrow x=1. Pe (−∞,1)(-\infty,1), f′′(x)<0f''(x)<0 deci ff concavă; pe (1,∞)(1,\infty), f′′(x)>0f''(x)>0 deci ff convexă. Punct de inflexiune la x=1x=1, f(1)=2f(1)=2.
43 puncte
Analiza ecuației f(x)=af(x)=a. Folosind monotonia: ff este bijectivă pe intervalele (−∞,0](-\infty,0], [0,2][0,2], [2,∞)[2,\infty). Valorile la capete: lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, f(0)=4f(0)=4, f(2)=0f(2)=0, lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty. Pentru a∈(0,4)a \in (0,4), există câte o soluție pe fiecare interval datorită continuității și monotoniei, deci exact trei soluții distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.