MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriNumere Complexe
Fie vectorii v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2 în plan, cu coordonatele (a,b)(a,b) și (c,d)(c,d) în baza ortonormată (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}). Acestor vectori le corespund numerele complexe z1=a+biz_1 = a+bi și z2=c+diz_2 = c+di. a) Demonstrați că v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2 sunt coliniari dacă și numai dacă z1z2\frac{z_1}{z_2} este un număr real. b) Pentru z1=2−4iz_1 = 2-4i și z2=−1+2iz_2 = -1+2i, verificați coliniaritatea vectorilor și determinați un vector de modul 10 coliniar cu v⃗1\vec{v}_1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea condiției de coliniaritate: v⃗1\vec{v}_1 și v⃗2\vec{v}_2 coliniari dacă și numai dacă există λ∈R\lambda \in \mathbb{R} astfel încât v⃗1=λv⃗2\vec{v}_1 = \lambda \vec{v}_2. \n
22 puncte
Exprimarea în coordonate: a=λca = \lambda c și b=λdb = \lambda d, de unde ad−bc=0ad - bc = 0. \n
32 puncte
Calculul raportului z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+ibc−adc2+d2\frac{z_1}{z_2} = \frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}, care este real dacă și numai dacă bc−ad=0bc-ad=0, echivalent cu ad−bc=0ad-bc=0. \n
42 puncte
Pentru z1=2−4iz_1 = 2-4i și z2=−1+2iz_2 = -1+2i, calculăm z1z2=2−4i−1+2i=(2−4i)(−1−2i)(−1)2+22=−2−4i+4i+8i25=−105=−2∈R\frac{z_1}{z_2} = \frac{2-4i}{-1+2i} = \frac{(2-4i)(-1-2i)}{(-1)^2+2^2} = \frac{-2-4i+4i+8i^2}{5} = \frac{-10}{5} = -2 \in \mathbb{R}, deci vectorii sunt coliniari. \n
52 puncte
Vectorul v⃗1\vec{v}_1 are coordonatele (2,−4)(2,-4). Un vector coliniar de modul 10 se obține prin înmulțirea cu un scalar: dacă u⃗=kv⃗1\vec{u} = k\vec{v}_1, atunci ∥u⃗∥=∣k∣∥v⃗1∥=∣k∣20=10\|\vec{u}\| = |k| \|\vec{v}_1\| = |k| \sqrt{20} = 10, deci ∣k∣=1020=1025=55=5|k| = \frac{10}{\sqrt{20}} = \frac{10}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}. Astfel, u⃗=±5(2,−4)=(25,−45)\vec{u} = \pm \sqrt{5}(2,-4) = (2\sqrt{5}, -4\sqrt{5}) sau (−25,45)(-2\sqrt{5}, 4\sqrt{5}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.