MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un dreptunghi este înscris într-un semicerc definit de ecuația y=4−x2y = \sqrt{4 - x^2} pentru x∈[−2,2]x \in [-2, 2]. Determinați dimensiunile dreptunghiului cu arie maximă și arătați că în acest punct, funcția arie este concavă în jos.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie xx abscisa colțului dreptunghiului pe axa OxOx, cu x∈[0,2]x \in [0, 2]. Dreptunghiul are lățimea 2x2x și înălțimea y=4−x2y = \sqrt{4 - x^2}. Aria este A(x)=2x⋅4−x2A(x) = 2x \cdot \sqrt{4 - x^2}.
23 puncte
Calculăm derivata întâi: A′(x)=24−x2+2x⋅−x4−x2=2(4−x2)−2x24−x2=8−4x24−x2A'(x) = 2\sqrt{4 - x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{2(4 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{8 - 4x^2}{\sqrt{4 - x^2}}.
32 puncte
Găsim punctele critice: A′(x)=0⇒8−4x2=0⇒x2=2⇒x=2A'(x) = 0 \Rightarrow 8 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2} (se ia valoarea pozitivă). Verificăm valorile la capete: A(0)=0A(0) = 0, A(2)=0A(2) = 0, iar A(2)=22⋅2=4A(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4, deci maximul este atins la x=2x = \sqrt{2}. Dimensiunile sunt lățime 222\sqrt{2} și înălțime 4−2=2\sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}.
42 puncte
Pentru a arăta concavitatea, calculăm derivata a doua sau analizăm semnul. Derivata a doua este A′′(x)=−8x4−x2−(8−4x2)⋅−x4−x24−x2A''(x) = \frac{-8x\sqrt{4 - x^2} - (8 - 4x^2) \cdot \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}}{4 - x^2} (simplificat), și pentru x=2x = \sqrt{2}, A′′(2)<0A''(\sqrt{2}) < 0, confirmând că funcția este concavă în jos în acel punct, ceea ce indică un maxim local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.