MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine a,b,ca, b, c știind că ff are un punct de extrem local în x=1x=1, punctul de inflexiune în x=2x=2, și f(0)=1f(0)=1. Apoi, pentru valorile găsite, să se studieze monotonia și convexitatea funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea condițiilor folosind derivatele: f′(x)=3x2+2ax+bf'(x)=3x^2+2ax+b, f′′(x)=6x+2af''(x)=6x+2a. Din punctul de extrem în x=1x=1: f′(1)=0f'(1)=0. Din punctul de inflexiune în x=2x=2: f′′(2)=0f''(2)=0. Și f(0)=1f(0)=1.
23 puncte
Rezolvarea sistemului: din f′′(2)=0f''(2)=0 rezultă 12+2a=012+2a=0, deci a=−6a=-6. Din f′(1)=0f'(1)=0: 3+2a+b=03+2a+b=0, cu a=−6a=-6 obținem 3−12+b=03-12+b=0, deci b=9b=9. Din f(0)=c=1f(0)=c=1, deci c=1c=1.
32 puncte
Scrierea funcției: f(x)=x3−6x2+9x+1f(x)=x^3-6x^2+9x+1. Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−12x+9=3(x2−4x+3)=3(x−1)(x−3)f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3).
41 punct
Determinarea intervalelor de monotonie: f′(x)>0f'(x)>0 pentru x∈(−∞,1)∪(3,∞)x \in (-\infty,1) \cup (3,\infty), deci ff crescătoare pe (−∞,1](-\infty,1] și [3,∞)[3,\infty); f′(x)<0f'(x)<0 pentru x∈(1,3)x \in (1,3), deci ff descrescătoare pe [1,3][1,3].
52 puncte
Studierea convexității: f′′(x)=6x−12=6(x−2)f''(x)=6x-12=6(x-2). f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>2x>2, deci ff convexă pe (2,∞)(2,\infty); f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<2x<2, deci ff concavă pe (−∞,2)(-\infty,2). Punctul de inflexiune este x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.