MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−3x+2)f(x) = e^{-x} (x^2 - 3x + 2). Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff, precum și punctele de extrem local și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=−e−x(x2−3x+2)+e−x(2x−3)=e−x(−x2+5x−5)f'(x) = -e^{-x}(x^2 - 3x + 2) + e^{-x}(2x - 3) = e^{-x}(-x^2 + 5x - 5).
22 puncte
Studiul semnului lui f′(x)f'(x): se rezolvă ecuația −x2+5x−5=0-x^2 + 5x - 5 = 0, cu soluțiile x=5±52x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}. Intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe (5−52,5+52)\left(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2}\right) și descrescătoare pe (−∞,5−52)∪(5+52,∞)\left(-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty\right).
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=−e−x(−x2+5x−5)+e−x(−2x+5)=e−x(x2−7x+10)f''(x) = -e^{-x}(-x^2 + 5x - 5) + e^{-x}(-2x + 5) = e^{-x}(x^2 - 7x + 10).
42 puncte
Studiul semnului lui f′′(x)f''(x): se rezolvă ecuația x2−7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0, cu soluțiile x=2x=2 și x=5x=5. Intervalele de convexitate: ff este convexă (derivata a doua pozitivă) pe (−∞,2)∪(5,∞)(-\infty, 2) \cup (5, \infty) și concavă pe (2,5)(2,5).
52 puncte
Punctele de extrem local: la x=5−52x = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} este punct de minim local, iar la x=5+52x = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} este punct de maxim local. Punctele de inflexiune sunt la x=2x=2 și x=5x=5, unde derivata a doua își schimbă semnul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.