MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}. Studiați monotonia funcției ff pe R\mathbb{R}, determinați intervalele de convexitate și concavitate, și arătați că funcția are un punct de minim local, calculând valoarea minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=e−x(2x−x2)f'(x)= e^{-x}(2x - x^2). Aflați punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0, obținând x=0x=0 și x=2x=2.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)<0f'(x)<0 (f descrescătoare); pe (0,2)(0,2), f′(x)>0f'(x)>0 (f crescătoare); pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)<0f'(x)<0 (f descrescătoare).
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=e−x(x2−4x+2)f''(x)= e^{-x}(x^2 -4x+2). Rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0, obținând x=2−2x=2-\sqrt{2} și x=2+2x=2+\sqrt{2}.
42 puncte
Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): pe (−∞,2−2)(-\infty, 2-\sqrt{2}), f′′(x)>0f''(x)>0 (f convexă); pe (2−2,2+2)(2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}), f′′(x)<0f''(x)<0 (f concavă); pe (2+2,∞)(2+\sqrt{2}, \infty), f′′(x)>0f''(x)>0 (f convexă). La x=0x=0, f′′(0)=2>0f''(0)=2>0, deci este punct de minim local, cu f(0)=0f(0)=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.