MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+9x+2f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de inflexiune. c) Determinați maximul și minimul funcției pe intervalul [0,4][0,4].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 și a derivatei a doua f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12. Studiul semnului: f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=1x=1 și x=3x=3; ff este crescătoare pe (−∞,1]∪[3,∞)(-\infty,1] \cup [3,\infty) și descrescătoare pe [1,3][1,3]. f′′(x)=0f''(x)=0 pentru x=2x=2; ff este concavă în jos pe (−∞,2)(-\infty,2) și concavă în sus pe (2,∞)(2,\infty).\n
22 puncte
Punctul de inflexiune este (2,f(2))=(2,4)(2, f(2)) = (2,4). Ecuația tangentei: y−4=f′(2)(x−2)y - 4 = f'(2)(x-2) cu f′(2)=−3f'(2) = -3, deci y=−3x+10y = -3x + 10.\n
33 puncte
Pe intervalul [0,4][0,4], evaluăm ff în punctele critice și la capete: f(0)=2f(0)=2, f(1)=6f(1)=6, f(3)=2f(3)=2, f(4)=6f(4)=6. Maximul este 6, atins la x=1x=1 și x=4x=4; minimul este 2, atins la x=0x=0 și x=3x=3.\n
42 puncte
Concluzie: Maximul funcției pe [0,4][0,4] este 6, iar minimul este 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.