MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriMatriciSisteme de Ecuații Liniare
În spațiul tridimensional, se consideră vectorii v1⃗=i⃗+2j⃗−k⃗\vec{v_1} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}, v2⃗=3i⃗−j⃗+2k⃗\vec{v_2} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}, și v3⃗=2i⃗+j⃗+λk⃗\vec{v_3} = 2\vec{i} + \vec{j} + \lambda \vec{k}. Determinați λ\lambda astfel încât vectorii să fie liniar dependenți. Apoi, pentru λ\lambda găsit, exprimați v3⃗\vec{v_3} ca o combinație liniară a lui v1⃗\vec{v_1} și v2⃗\vec{v_2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Vectorii sunt liniar dependenți dacă determinantul matricei coordonatelor este zero. Matricea este M=(1322−11−12λ)M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & \lambda \end{pmatrix}. Calculăm det⁡(M)=1⋅∣−112λ∣−3⋅∣21−1λ∣+2⋅∣2−1−12∣=1⋅((−1)λ−1⋅2)−3⋅(2λ−1⋅(−1))+2⋅(2⋅2−(−1)(−1))=(−λ−2)−3(2λ+1)+2(4−1)=−λ−2−6λ−3+6=−7λ+1\det(M) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot ((-1)\lambda - 1 \cdot 2) - 3 \cdot (2\lambda - 1 \cdot (-1)) + 2 \cdot (2 \cdot 2 - (-1)(-1)) = (-\lambda - 2) - 3(2\lambda + 1) + 2(4 - 1) = -\lambda - 2 - 6\lambda - 3 + 6 = -7\lambda + 1. Punem det⁡(M)=0⇒−7λ+1=0\det(M) = 0 \Rightarrow -7\lambda + 1 = 0.
22 puncte
Rezolvăm ecuația: −7λ+1=0⇒λ=17-7\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{7}.
34 puncte
Pentru λ=17\lambda = \frac{1}{7}, avem v3⃗=2i⃗+j⃗+17k⃗\vec{v_3} = 2\vec{i} + \vec{j} + \frac{1}{7}\vec{k}. Căutăm α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R} astfel încât v3⃗=αv1⃗+βv2⃗\vec{v_3} = \alpha \vec{v_1} + \beta \vec{v_2}. Sistemul: {α+3β=22α−β=1−α+2β=17\begin{cases} \alpha + 3\beta = 2 \\ 2\alpha - \beta = 1 \\ -\alpha + 2\beta = \frac{1}{7} \end{cases}. Din prima, α=2−3β\alpha = 2 - 3\beta. Înlocuim în a doua: 2(2−3β)−β=1⇒4−6β−β=1⇒−7β=−3⇒β=372(2-3\beta) - \beta = 1 \Rightarrow 4 - 6\beta - \beta = 1 \Rightarrow -7\beta = -3 \Rightarrow \beta = \frac{3}{7}. Atunci α=2−3⋅37=57\alpha = 2 - 3 \cdot \frac{3}{7} = \frac{5}{7}. Verificăm a treia: −57+2⋅37=17-\frac{5}{7} + 2 \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{7}, corect. Deci v3⃗=57v1⃗+37v2⃗\vec{v_3} = \frac{5}{7} \vec{v_1} + \frac{3}{7} \vec{v_2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.