MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate. c) Aflați punctele de extrem și de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9. Rezolvați f′(x)=0f'(x)=0 pentru a găsi punctele critice: 3x2−12x+9=0⇒x2−4x+3=0⇒x=13x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x=1 și x=3x=3.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): pe (−∞,1)(-\infty,1), f′(x)>0f'(x)>0 deci ff crescătoare; pe (1,3)(1,3), f′(x)<0f'(x)<0 deci ff descrescătoare; pe (3,∞)(3,\infty), f′(x)>0f'(x)>0 deci ff crescătoare. Monotonia: crescătoare pe (−∞,1]∪[3,∞)(-\infty,1] \cup [3,\infty), descrescătoare pe [1,3][1,3].
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12. Rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0 pentru punctul de inflexiune: 6x−12=0⇒x=26x - 12 = 0 \Rightarrow x=2.
42 puncte
Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): pe (−∞,2)(-\infty,2), f′′(x)<0f''(x)<0 deci ff concavă; pe (2,∞)(2,\infty), f′′(x)>0f''(x)>0 deci ff convexă. Punctele de extrem: x=1x=1 este maxim local, f(1)=5f(1)=5; x=3x=3 este minim local, f(3)=1f(3)=1. Punctul de inflexiune: x=2x=2, f(2)=3f(2)=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.