MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determină intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, folosind proprietățile acestor intervale, rezolvă ecuația f(x)=2f(x) = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 obținând x=0x=0 și x=2x=2. Intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty, 0] \cup [2, \infty) și descrescătoare pe [0,2][0,2].
23 puncte
Se calculează derivata a doua f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0 obținând x=1x=1. Intervalele de convexitate: ff este convexă pe [1,∞)[1, \infty) și concavă pe (−∞,1](-\infty, 1].
34 puncte
Ecuația f(x)=2f(x) = 2 devine x3−3x2+4=2x^3 - 3x^2 + 4 = 2, adică x3−3x2+2=0x^3 - 3x^2 + 2 = 0. Se observă că x=1x=1 este rădăcină. Prin factorizare, se obține (x−1)(x2−2x−2)=0(x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0, deci x=1x=1 sau x=1±3x=1 \pm \sqrt{3}. Folosind monotonia, se verifică că acestea sunt unicele soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.