MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
În triunghiul ABCABC se cunosc A(1,0)A(1,0), B(5,2)B(5,2), C(3,6)C(3,6). a) Calculați lungimile laturilor ABAB, ACAC și BCBC. b) Determinați măsura unghiului BAC^\widehat{BAC} folosind produsul scalar. c) Scrieți ecuația bisectoarei interioare a unghiului AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm vectorii: AB⃗=B−A=(5−1,2−0)=(4,2)\vec{AB} = B - A = (5-1, 2-0) = (4,2), AC⃗=C−A=(3−1,6−0)=(2,6)\vec{AC} = C - A = (3-1, 6-0) = (2,6), BC⃗=C−B=(3−5,6−2)=(−2,4)\vec{BC} = C - B = (3-5, 6-2) = (-2,4). Lungimile: ∣AB∣=42+22=16+4=20=25|AB| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}, ∣AC∣=22+62=4+36=40=210|AC| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}, ∣BC∣=(−2)2+42=4+16=20=25|BC| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
24 puncte
Unghiul BAC^\widehat{BAC}: cos⁡BAC^=AB⃗⋅AC⃗∣AB∣⋅∣AC∣=4⋅2+2⋅625⋅210=8+12450=204⋅52=20202=12=22\cos \widehat{BAC} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{4 \cdot 2 + 2 \cdot 6}{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{8+12}{4\sqrt{50}} = \frac{20}{4 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{20}{20\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. Deci BAC^=45∘\widehat{BAC} = 45^{\circ}.
33 puncte
Bisectoarea unghiului AA are direcția dată de suma vectorilor unitate pe direcțiile ABAB și ACAC. Vectorul unitate pe ABAB: u⃗AB=AB⃗∣AB∣=(4,2)25=(25,15)=(255,55)\vec{u}_{AB} = \frac{\vec{AB}}{|AB|} = \frac{(4,2)}{2\sqrt{5}} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right). Vectorul unitate pe ACAC: u⃗AC=AC⃗∣AC∣=(2,6)210=(110,310)=(1010,31010)\vec{u}_{AC} = \frac{\vec{AC}}{|AC|} = \frac{(2,6)}{2\sqrt{10}} = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right) = \left(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3\sqrt{10}}{10}\right). Vectorul direcție al bisectoarei: d⃗=u⃗AB+u⃗AC=(255+1010,55+31010)\vec{d} = \vec{u}_{AB} + \vec{u}_{AC} = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3\sqrt{10}}{10}\right). Ecuația bisectoarei prin A(1,0)A(1,0): x−1255+1010=y−055+31010\frac{x-1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{10}}{10}} = \frac{y-0}{\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3\sqrt{10}}{10}}. Simplificând, se poate scrie x−145+10=y25+310\frac{x-1}{4\sqrt{5}+\sqrt{10}} = \frac{y}{2\sqrt{5}+3\sqrt{10}} (după înmulțirea numitorilor cu 10).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.