MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Să se studieze monotonia și convexitatea funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Apoi, folosind rezultatele obținute, să se determine numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=kf(x) = k, în funcție de parametrul real kk.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x și se rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x) = 0, obținând punctele critice x=0x=0 și x=2x=2.
22 puncte
Se analizează semnul derivatei întâi: pe (−∞,0)(-\infty, 0), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff este strict crescătoare; pe (0,2)(0, 2), f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff este strict descrescătoare; pe (2,∞)(2, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff este strict crescătoare.
32 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6 și se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0, obținând punctul de inflexiune x=1x=1.
42 puncte
Se analizează semnul derivatei a doua: pe (−∞,1)(-\infty, 1), f′′(x)<0f''(x) < 0 deci ff este concavă; pe (1,∞)(1, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 deci ff este convexă.
52 puncte
Utilizând monotonia, se calculează f(0)=4f(0)=4, f(2)=0f(2)=0 și limitele lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty. Din convexitate, graficul are o formă specifică. Ecuația f(x)=kf(x)=k are: o soluție pentru k<0k < 0 sau k>4k > 4, două soluții pentru k=0k=0 sau k=4k=4, trei soluții pentru 0<k<40 < k < 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.