MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x22−ln⁡(x2+1)f(x) = \frac{x^2}{2} - \ln(x^2 + 1). a) Studiați monotonia funcției ff. b) Studiați convexitatea funcției ff. c) Determinați punctele de extrem local ale funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 9 pași
11 punct
Calculăm f′(x)=x−2xx2+1=x(x2−1)x2+1f'(x) = x - \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x(x^2-1)}{x^2+1}.
21 punct
Simplificăm la f′(x)=x(x−1)(x+1)x2+1f'(x) = \frac{x(x-1)(x+1)}{x^2+1}.
32 puncte
Studiem semnul lui f′(x)f'(x): numitorul pozitiv; numărătorul: pe (−∞,−1)(-\infty,-1), f′(x)>0f'(x)>0; pe (−1,0)(-1,0), f′(x)<0f'(x)<0; pe (0,1)(0,1), f′(x)>0f'(x)>0; pe (1,∞)(1,\infty), f′(x)<0f'(x)<0; deci ff crescătoare pe (−∞,−1](-\infty,-1], descrescătoare pe [−1,0][-1,0], crescătoare pe [0,1][0,1], descrescătoare pe [1,∞)[1,\infty).
41 punct
Calculăm f′′(x)=x4+4x2−1(x2+1)2f''(x) = \frac{x^4 + 4x^2 - 1}{(x^2+1)^2}.
51 punct
Studiem semnul numărătorului g(x)=x4+4x2−1g(x)=x^4+4x^2-1: notăm t=x2≥0t=x^2 \geq 0, rezolvăm t2+4t−1=0t^2+4t-1=0, obținem t=5−2t=\sqrt{5}-2, deci x=±5−2x=\pm \sqrt{ \sqrt{5}-2 }.
61 punct
Semnul lui g(x)g(x): pentru ∣x∣<5−2|x| < \sqrt{ \sqrt{5}-2 }, g(x)<0g(x)<0, deci f′′(x)<0f''(x)<0, ff concavă; pentru ∣x∣>5−2|x| > \sqrt{ \sqrt{5}-2 }, g(x)>0g(x)>0, deci f′′(x)>0f''(x)>0, ff convexă; punctele de inflexiune la x=±5−2x=\pm \sqrt{ \sqrt{5}-2 }.
71 punct
Din f′(x)=0f'(x)=0, punctele critice: x=−1,x=0,x=1x=-1, x=0, x=1.
81 punct
Studiem semnul derivatei: la x=−1x=-1, trecere de la f′>0f'>0 la f′<0f'<0, deci maxim local; la x=0x=0, trecere de la f′<0f'<0 la f′>0f'>0, deci minim local; la x=1x=1, trecere de la f′>0f'>0 la f′<0f'<0, deci maxim local.
91 punct
Calculăm valorile: f(−1)=12−ln⁡(2)f(-1) = \frac{1}{2} - \ln(2), f(0)=0f(0) = 0, f(1)=12−ln⁡(2)f(1) = \frac{1}{2} - \ln(2); deci maxime locale la x=−1x=-1 și x=1x=1, minim local la x=0x=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.