MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Fie funcția g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x3x2+1g(x) = \frac{x^3}{x^2+1}. Determinați intervalele de monotonie și punctele de inflexiune ale funcției gg. Utilizând derivata, găsiți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de inflexiune x=0x=0 și determinați punctele de intersecție ale acestei tangente cu axele de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: g′(x)=3x2(x2+1)−x3⋅2x(x2+1)2=x2(x2+3)(x2+1)2g'(x) = \frac{3x^2(x^2+1) - x^3 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}. Derivata este definită pe R\mathbb{R} și g′(x)=0g'(x)=0 când x=0x=0 (numărătorul este zero).
23 puncte
Studiem semnul lui g′(x)g'(x): pentru x≠0x \neq 0, x2>0x^2 > 0 și x2+3>0x^2+3 > 0, iar numitorul (x2+1)2>0(x^2+1)^2 > 0, deci g′(x)>0g'(x) > 0. Astfel, gg este strict crescătoare pe R\mathbb{R}; la x=0x=0, g′(0)=0g'(0)=0, dar funcția nu are extrem local deoarece derivata nu își schimbă semnul.
32 puncte
Calculăm derivata a doua: g′′(x)=ddx(x2(x2+3)(x2+1)2)=2x(3−x2)(x2+1)3g''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}\right) = \frac{2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3} (se obține prin derivare sau simplificare). Rezolvăm g′′(x)=0g''(x)=0: 2x(3−x2)=02x(3-x^2)=0, deci x=0x=0 sau x=±3x=\pm\sqrt{3}. Studiem semnul lui g′′(x)g''(x): pentru x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -\sqrt{3}), g′′(x)<0g''(x)<0 (concavă); pentru x∈(−3,0)x \in (-\sqrt{3}, 0), g′′(x)>0g''(x)>0 (convexă); pentru x∈(0,3)x \in (0, \sqrt{3}), g′′(x)<0g''(x)<0 (concavă); pentru x∈(3,∞)x \in (\sqrt{3}, \infty), g′′(x)>0g''(x)>0 (convexă). Punctele de inflexiune sunt x=0x=0 și x=±3x=\pm\sqrt{3}.
42 puncte
În punctul de inflexiune x=0x=0, avem g(0)=0g(0)=0 și g′(0)=0g'(0)=0. Ecuația tangentei este y−g(0)=g′(0)(x−0)y - g(0) = g'(0)(x-0), adică y=0y=0. Această tangentă este axa OxOx. Intersecția cu axa OxOx este orice punct de pe ea, dar specificând, originea (0,0)(0,0) este punctul de contact. Intersecția cu axa OyOy este tot (0,0)(0,0) deoarece tangenta coincide cu axa OxOx.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.