MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem și de inflexiune. c) Aplicați rezultatele pentru a găsi valoarea minimă a funcției pe intervalul [−1,3][-1,3].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 pentru a găsi punctele critice: x=0x=0 și x=2x=2.
22 puncte
Studiem semnul lui f′(x)f'(x): pe (−∞,0)(-\infty,0) și (2,∞)(2,\infty) f′(x)>0f'(x)>0, deci ff crescătoare; pe (0,2)(0,2) f′(x)<0f'(x)<0, deci ff descrescătoare.
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Rezolvăm f′′(x)=0f''(x)=0 pentru x=1x=1. Pe (−∞,1)(-\infty,1) f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff concavă; pe (1,∞)(1,\infty) f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff convexă.
42 puncte
Punctele de extrem: x=0x=0 este maxim local (f(0)=4f(0)=4), x=2x=2 este minim local (f(2)=0f(2)=0). Punct de inflexiune: x=1x=1 (f(1)=2f(1)=2).
51 punct
Pe intervalul [−1,3][-1,3], evaluăm ff: f(−1)=0f(-1)=0, f(0)=4f(0)=4, f(2)=0f(2)=0, f(3)=4f(3)=4. Valoarea minimă este 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.