MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie și punctele de inflexiune ale funcției. Apoi, folosind aceste rezultate, găsiți minimul și maximul funcției pe intervalul [0,3][0,3].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2). Studiem semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,0)∪(2,∞)x \in (-\infty,0) \cup (2,\infty) (funcția crește) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,2)x \in (0,2) (funcția descrește). Intervalele de monotonie sunt: crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty), descrescătoare pe [0,2][0,2].\n
23 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1). f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=1x=1. Studiem semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1 (convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1 (concavă). Punctul de inflexiune este x=1x=1, f(1)=2f(1)=2.\n
34 puncte
Pe intervalul [0,3][0,3], evaluăm funcția în punctele critice și capete. Punctele critice din interior sunt x=0,2x=0,2 (de la derivata întâi) și x=1x=1 (inflexiune, dar nu extrem). Calculăm f(0)=4f(0)=4, f(1)=2f(1)=2, f(2)=0f(2)=0, f(3)=4f(3)=4. Minimul este 00 la x=2x=2, maximul este 44 la x=0x=0 și x=3x=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.