MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x-2}. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. Determinați intervalele pe care ff este crescătoare/descrescătoare și convexă/concavă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Determinarea domeniului de definiție: D=R∖{2}D = \mathbb{R} \setminus \{2\}, deoarece numitorul x−2≠0x-2 \neq 0.
22 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=(2x−4)(x−2)−(x2−4x+3)(x−2)2=x2−4x+5(x−2)2f'(x) = \frac{(2x-4)(x-2) - (x^2-4x+3)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 5}{(x-2)^2}.
32 puncte
Studiul semnului derivatei întâi: numeratorul x2−4x+5x^2 - 4x + 5 are discriminant Δ=(−4)2−4⋅1⋅5=−4<0\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot5 = -4 < 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈Dx \in D. Astfel, ff este strict crescătoare pe (−∞,2)(-\infty, 2) și pe (2,∞)(2, \infty).
42 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=−2(x−2)3f''(x) = \frac{-2}{(x-2)^3}.
53 puncte
Studiul semnului derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x<2x < 2, deci ff este convexă pe (−∞,2)(-\infty, 2); f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x>2x > 2, deci ff este concavă pe (2,∞)(2, \infty). Nu există puncte de inflexiune în DD.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.